ساخت پیچیده ترین معمای ریاضی جهان، با یک تکه نخ!
به گزارش دانشگاه فارسی، از دوران پیشاتاریخ انسان ها چه برای کاربردهای عملی و چه برای زیبایی به سراغ گره ها می رفتند و گره های ریاضی، بخصوص گره هایی که آخر دارند، در هنرهای چینی قدیمی دیده می شوند و از دهه ۱۸۷۰ میلادی، طبقه بندی ریاضی گره ها شروع شد.
غزال زیاری: خیلی وقت ها میتوان با استفاده از یک تکه نخ، علاوه بر ایجاد یک سرگرمی، معماهای پیچیده ریاضی هم خلق کرد. کافی است تا یک تکه نخ یا کاموای بلند بردارید؛ آنرا تا کنید و گره بزنید و هر جور دلتان می خواهد در هم بپیچانید. درنهایت، دو سر باز نخ را به هم متصل کنید تا یک حلقه بسته به دست بیاید.
همین، یکی از هیجان انگیزترین اشیاء ریاضی قرن بیستم است: یک گره؛ حالا این سؤال مطرح می شود که کدام گره در هرکدام از دو جفت زیر را میتوان بدون باز کردن حلقه به یک دایره ساده تبدیل کرد؟
راهنمایی حل معما: در جفت اول، گره سمت چپ بطورکامل باز می شود و در جفت دوم، گره سمت راست اینگونه خواهد بود.
یک چالش جدید: دو گرهٔ دیگر را میتوان طوری مرتب کرد که به دو گره دیگرِ نشان داده شده در مقاله شبیه شوند. آیا می توانی این کار را انجام بدهی؟
هر گِره ای که امکان تبدیل شدن به یک دایره را داشته باشد (مثل دو گره بالا)، گره بدیهی یا unknot نامیده می شود؛ اما بقیه گره ها چطور؟ چطور میتوان مطمئن شد که با کشیدن، چرخاندن یا جابجایی نمی توان آنها را به دایره تبدیل کرد مگر این که نخ را ببُری؟ آیا راهی وجود دارد که بدانیم واقعا آن دو گره با هم متفاوتند؟ یعنی نمی توان آنها را جوری تغییر شکل داد که مثل هم شوند؟ این ها برخی از سؤالات بنیادین در شاخه ریاضی به نام "نظریه گره" هستند.
نظریه گره چیست؟
از دوران پیشاتاریخ انسان ها چه برای کاربردهای عملی و چه برای زیبایی به سراغ گره ها می رفتند و گره های ریاضی، بخصوص گره هایی که اختتام دارند، در هنرهای چینی و سلتیک قدیمی دیده می شوند.
نمونه هایی از گره های سنتی سلتیک
طبقه بندی ریاضی گره ها از دهه ۱۸۷۰ میلادی شروع شد. محققانی که جدول های اولیه طبقه بندی گره ها را ساختند، تحت تأثیر این ایده بودند که اتم ها، گرداب های گره خورده اند. آنها تصور می کردند اگر همه گره های ممکن را لیست کنند، می توانند جدول تناوبی عناصر را بسازند. این تلاش شیمیایی تا حدی توسط لرد کِلوین، خالق مقیاس دمایی، رهبری شد و زمانی که شیمیدان ها فهمیدند که اتم ها واقعا گره نیستند، ریاضیدان ها این ایده را ادامه دادند و شاخه کاملی از ریاضیات را پیرامون گره های پیچیده بنا کردند.
ریاضیدان ها معمولا گره ها را با استفاده از نمودارهای این چنینی دست کاری می کنند:
نقطه ای که در آن یک رشته از روی رشته دیگری عبور می کند در نمودار گره، یک گذرگاه (crossing) نامیده می شود. یک گره unknot را میتوان با هر تعداد گذرگاه رسم کرد. در اینجا Unknots ها را با ۷، ۱۱ و ۱۵ گذرگاه می بینید:
حالا این سوال مطرح می شود: کمترین تعداد گذرگاهی که می توانید برای ایجاد یک گره که ساده و پیش پا افتاده نباشد، استفاده کنید، چقدر است؟ آنرا رسم کنید.
راهنمایی برای حل معما: می توانیم ببینیم که هر نمودار گره ای که تنها یک گذرگاه داشته باشد، درنهایت گره بدیهی (unknot) خواهد بود. اگر از یک ترسیم ساده با تنها یک گذرگاه شروع نماییم، می توانیم همهٔ حالت های ممکن برای اتصال انتهاها به یکدیگر را بدون این که از روی هم عبور کنند، بررسی نماییم. درنتیجه می بینیم که تمامی این حالت ها درحقیقت همان گره بدیهی یا unknot هستند. درعین حال با روش مشابهی میتوان نشان داد که هیچ نمودار غیر بدیهی ای با تنها دو گذرگاه وجود ندارد.
اما آیا یک گره غیر بدیهی می تواند سه گذرگاه داشته باشد؟
بله! تنها یک گره و تصویر آینه ای آن چنین خاصیت ای دارد؛ این گره، گره سه پره (trefoil knot) نامیده می شود که هیچگاه نمی توان آنرا به یک دایره ساده تبدیل کرد.
حرکات ریدمایستر (Reidemeister moves)
هر تغییر یا جابه جایی در یک نمودار گره که خود گره را به شکل بنیادین تغییر ندهد را میتوان با دنباله ای از سه نوع حرکت انجام داد که به آنها حرکات ریدمایستر گفته می شود. این حرکات عبارت اند از:
۱- پیچ دادن یا باز کردن یک رشته.
۲- لغزاندن یک رشته از روی یا زیر رشتهٔ دیگر.
۳- عبور دادن یک رشته از زیر، رو، یا میان دو رشته در یک گذرگاه.
هر خاصیت گره که هنگام انجام این حرکات تغییر نکند، گره نامتغیر (knot invariant) نامیده می شود. یکی از نمونه های سادهٔ این گره، سه رنگی پذیری (tricolorability) است. هر گره در صورتی سه رنگی پذیر نام می گیرد که بتوان در نمودار آن، هر بخش (arc) را طبق دو قانون زیر با یکی از سه رنگ، رنگ آمیزی کرد:
۱- در هر گذرگاه، هر سه بخش یا هم رنگ باشند، یا هر سه رنگ متفاوت داشته باشند.
۲- بالاتر از یک رنگ در کل نمودار استفاده گردد.
به عنوان مثال گره بدیهی که به شکل یک دایره نمایش داده می شود، آشکارا سه رنگی پذیر نیست. چون تنها یک بخش دارد و بدین ترتیب قانون دوم در مورد آن صادق نخواهد بود. اما اگر نمودارهای متفاوتی از گره بدیهی رسم نماییم، آیا امکان دارد بعضی از آنها سه رنگی پذیر باشند؟ با استفاده از حرکات ریدمایستر، میتوان نشان داد که سه رنگی پذیری به نحوهٔ ترسیم گره وابسته نیست.
اثبات پایداری سه رنگی پذیری
برای مثال میتوان نشان داد که حرکت ریدمایستر نوع دوم (RII) اثری بر سه رنگی پذیری ندارد. ابتدا تمام حالت های ممکن برای رنگ آمیزی بخش های درگیر در این حرکت را بدون توجه به نام رنگ ها بررسی می نماییم. پس از آن نشان می دهیم که بعد از اجرای حرکت، هنوز میتوان بخش ها را طوری رنگ آمیزی کرد که هیچ یک از قوانین نقض نشود و رنگ رشته هایی که به بقیهٔ گره متصل اند، حفظ شود.
استدلال مشابهی برای حرکت نوع اول (RI) البته با حالت های کمتری برقرار است و برای حرکت نوع سوم (RIII) هم صادق خواهد بود (هرچند حالت های بیشتری دارد).
سه رنگی پذیری گره سه پره ای
حالا می خواهیم نشان دهیم که گره سه پره ای، سه رنگی پذیر است و با گره بدیهی هم ارز نیست.
در یکی از حالت ها، میتوان گره سه پره ای را طوری رنگ آمیزی کرد که در هر گذرگاه، سه بخش یا هم رنگ باشند یا بطورکامل متفاوت و هر سه رنگ دست کم یک دفعه به کاررفته باشد. در این حالت خاص، در هر گذرگاه، سه رنگ متفاوت اند اما همهٔ گره ها را نمی توان تنها با سه رنگی پذیری از هم متمایز کرد.
گره هشت تایی و سه رنگی ناپذیری آن
برای نشان دادن و اثبات این که گره هشت تایی مثل گره بدیهی سه رنگی پذیر نیست، کافی نیست که فقط یک رنگ آمیزی نامعتبر نشان دهیم و باید همهٔ حالت های ممکن بررسی شوند.
برای بررسی پیش از هر چیز، رنگ دلخواهی را برای بخش بالایی انتخاب نموده و شروع می کنیم؛ بطورمثال بدون از دست دادن کلیت استدلال، رنگ قرمز را انتخاب می نماییم. در ادامه با دو حالت مواجه می شویم:
در حالت اول بخش راست هم قرمز است.
در این صورت و طبق قوانین، بخش چپ و بخش میانی هم باید قرمز باشند؛ درنتیجه کل گره فقط یک رنگ دارد، پس سه رنگی پذیر نیست.
در حالت ۲، بخش راست به رنگ متفاوتی مثل آبی است.
در این صورت، چون بخش های قرمز و آبی در گذرگاه با بخش چپ تلاقی می کنند، بخش چپ باید زرد باشد.
اما در گذرگاه بعدی، همین استدلال سبب تناقض می شود؛ چونکه نمی توان رنگی یافت که هر دو شرط را هم زمان برآورده کند.
در نتیجه هیچ رنگ آمیزی امکان ندارد که بتواند تابع این قوانین باشد و ازاین رو گره هشت تایی سه رنگی پذیر نیست.
نامتغیرهای پیشرفته تر
برای هر گره، تنها دو گزینه وجود دارد: یا سه رنگی پذیر است یا نه. یعنی سه رنگی پذیری به هر گره مقدار "بله" یا "خیر" نسبت می دهد. اما نامتغیرهای پیچیده تر می توانند به هر گره عددی، چندجمله ای یا حتی یک شیء ریاضی، مثل گروه نسبت دهند.
مثلاً:
عدد گذرگاه (crossing number): کمترین تعداد گذرگاهی است که گره را میتوان با آن رسم کرد. عدد گره بدیهی (unknotting number) که کمترین تعداد تغییر گذرگاه هاست که ضروری است تا گره به گره ای بدیهی تبدیل گردد و عدد آن در گره سه پره برابر با یک است.
مثال های بیشتر
در نمودار بعدی، گره هشت تایی به گره پنج تایی متصل شده که به آن جمع پیوسته می گویند. تا مدت ها باور بر این بود که عدد گره بدیهی، جمع دو گره برابر با جمع عددهای آن هاست.
در این مثال، چنین است: عدد گره بدیهی گره سوم برابر است با ۱ + ۲ = ۳. هرچند که پژوهش های اخیر نشان داده اند که این قاعده همیشه درست نیست.
گره های اول (Prime knots)
گره ای که نتوان آنرا به شکل جمع پیوستهٔ دو گرهٔ غیر بدیهی دیگر بیان کرد، گره اول (prime knot) نام دارد.
همان گونه که اعداد اول ساختار اعداد طبیعی را می سازند، گره های اول هم اجزای سازندهٔ همهٔ گره های دیگر هستند.
گره های اول در جدول های استاندارد لیست می شوند. بطورمثال گره پنج تایی، با نماد ۵₁ نشان داده می شود؛ یعنی گره ای با پنج گذرگاه که نخستین گره با این تعداد در جدول استاندارد است.
تا امروز، ریاضی دانان توانسته اند تمامی گره های اول تا عدد گذرگاه ۲۰ را لیست کنند. برای مقیاس درک موضوع: تعداد گره های اولی با عدد گذرگاه ۲۰ برابر است با ۱.۸۴۷.۳۱۹.۴۲۸ (آن هم بدون درنظر گرفتن تصاویر آینه ای.)
از گره ها تا پیوندها
ریاضیات نظریهٔ گره را میتوان برای مطالعهٔ پیوندها (links ) که به معنای ساختارهایی شامل چند حلقهٔ درهم تنیده هستند هم به کار برد. یکی از پیوندهای معروف، حلقه های بورومئان (Borromean rings) است:
سه حلقه که همگی به هم متصل اند، ولی هیچ دو تای آنها به تنهایی درهم قفل نیستند و اگر یکی از حلقه ها را حذف نماییم، دو تای دیگر آزاد می شوند.
سؤال: آیا میتوان پیوندی چهار جزئی با همین خاصیت ساخت؟ یعنی هیچ کدام از چهار حلقه جدا نباشند، ولی با برداشتن یکی، بقیه از هم جدا شوند.
پاسخ این سؤال مثبت است: این ساختار پیوند برونیان چهار جزئی (four-component Brunnian link) نام دارد که میتوان آنرا به صورت های مختلفی رسم کرد؛ هر الگویی که در آن همهٔ اجزا به هم متصل باشند و با حذف هرکدام از اجزا بقیه آزاد شوند، پاسخ درستی برای این سؤال خواهد بود.
فراتر از سه بعد
گرچه حرکت از سمت گره ها به سوی پیوندها گام کوچکی است، اما ریاضی دانان از همین ایده ها جهت بررسی مفاهیم عمیق تری مثل گره های چندبعدی، سطوحی با لبه های گره خورده و حتی اشیائی که از فضای سه بعدی با حذف یک گره به دست می آیند استفاده می نمایند.
با وجودی که شیمی دان ها دیگر از نظریهٔ گره برای توصیف اتم ها استفاده نمی کنند، اما همین نظریه حالا در بررسی ساختار مولکول ها، سنتز مواد جدید، تحلیل گره خوردگی پروتئین ها و توسعهٔ فناوری های ویرایش ژن به کار می آید. این ها نشان می دهند که ریاضیات و علوم تجربی دست در دست هم، ما را در درک بهتر سازوکار جهان یاری می دهند.
منبع: scientificamerican
۲۲۷۲۲۷
بطور خلاصه، در این صورت، چون بخش های قرمز و آبی در گذرگاه با بخش چپ تلاقی می کنند، بخش چپ باید زرد باشد. پاسخ این سؤال مثبت است: این ساختار پیوند برونیان چهار جزئی (four-component Brunnian link) نام دارد که میتوان آن را بصورت های مختلفی رسم کرد؛ هر الگویی که در آن همهٔ اجزا به هم متصل باشند و با حذف هرکدام از اجزا بقیه آزاد شوند، پاسخ درستی برای این سؤال خواهد بود. این ها نشان می دهند که ریاضیات و علوم تجربی دست در دست هم، ما را در درک بهتر سازوکار جهان یاری می دهند.
این مطلب را می پسندید؟
(1)
(0)
تازه ترین مطالب مرتبط
نظرات بینندگان در مورد این مطلب